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论文案例分享-小波变换在图像处理方面的应用

2021-03-15 11:41


   自上世纪80年代以来,由于科研探究的需要和傅里叶变换处理的局限性,使得人们开始寻找更加合适的基来满足信号局部性研究,最终使得小波变换称为重要的研究方向之一。

 

  本文首先详细分析了小波变换的基础理论知识,由于小波分析具有良好的时-频特性及多分辨分析特性,使得小波变换在作为二维数字信号处理领域的像处理领域有着广泛的应用。其次对数字像处理进行简要概述,并通过MATLAB对小波变换在像降噪、像融合、像数字水印添加方面进行实验仿真。当像经过小波变换后能量集中在少数变换系数上。小波变换后的像,低频带是像的相近信息,高频带对应着像的细节信息,例如边缘、轮廓、纹理等等。利用这些特性,使得小波变换称为像处理领域一个不可缺少的方面。

 

  1.1小波分析背景历史

 

  1.1.1“点”与“基”

 

  在一维像中,一个点可以用一个数字x表示;在二维像中,一个点可以由两个数组成的坐标(x,y)来表示。在一个n维空间中,表达一个点的方式是一系列带有大小和方向的量,我们称为“向量”。为了用更少的资源,把要表达的对象全部表达出来,我们需要给定一组“基”,“基”是n维空间中一组线性独立的n维向量,使得空间中的所有点都可以用这组基来表示,不同的点之间的差异体现在基的每个向量的系数的不同。用数学表达式来体现为:

 

  因此变换的实质就是基的变换。在科学研究和工程中,往往要面临大量的数学计算,基的特点决定了具体地计算过程,并且我们希望科学研究可以更好地呈现最多的信号特性,因此基的选取非常重要。

 

  1.1.2从傅里叶变换到小波变换

 

  傅里叶级数最早是由法国数学家Fourier提出的。他发现,基不仅仅存在于向量空间,还存在于函数空间中。空间函数的本质是一个线性向量空间,向量就是函数。向量空间可以写成向量基的线性组合,基是正交的;函数空间也可以写成一组函数的线性组合,也是正交的。不同的是,因为函数空间维度是无穷尽的,所以函数基是无穷尽的。

 

  傅里叶级数使用的正交函数基是三角函数集。任意信号,只要符合狄利克雷条件,都可以分解为一系列不同频率的正弦分量,这些分量就是级数。即

 

  (1.1.1)

 

  类比向量正交的的定义,判定两个连续函数和是否正交可以算对应点函数相乘的积分是否为0。即

 

  (1.1.2)

 

  很容易的,我们证明出这些级数是正交的。并且现在我们已知信号和级数,把方程(1-1)两端都与求内积,即

 

  (1.1.3)

 

  因为正交性,式子被化简为

 

  (1.1.4)

 

  由此,我们可以很简单的求出。

 

  傅里叶变换是用一系列正交的三角波表示连续或离散的信号。因此我们可以很容易的计算出系数。傅里叶变换对公式为:

 

  (1.1.7)

 

  (1.1.8)

 

  傅里叶变换中为频率,如果信号中一时间点存在,则从此时刻开始左右延伸至无穷远,周期频率都是一样的,且幅值也与时间无关。此时信号为频率周期完全相同,周期幅值完全相同的信号。而在生活中绝大多数信号都是不平稳的。且傅里叶变换将信号分的太细了,导致计算出现一点点偏差时由频域还原为原始信号可能还原不回去,出现很大偏差。

 

  因此,科学家们为了自己解决问题的方便,把原来的傅里叶基做了修改,发现解决问题更加方便并且结果出乎意料的好。

 

  1946年,D.Gabor给出一种加窗傅里叶变换——Gabor变换。

 

  Gabor变换形式为

 

  (1.1.9)

 

  (1.1.10)

 

  原信号在时间点的“附近”,“附近”的范围是由窗函数确定的。局部频率为的频率成分,可表示为

 

  (1..111)

 

  将所有的局部频率累积在一起就可以合成完整的信号的频率。(1.1.12)

 

  说明,对,Gabor变换都可以对做精确分解,可以给出的频谱局部信息。

 

  若不限于为高斯信号,设而且,如果

 

  (1..1.13)

 

  称为窗函数。的中心记为,的半径称为,分别定义为

 

  (1.1.14)

 

  和

 

  (1.1.15)

 

  但是,此种加窗傅里叶变换还存在不足。首先,Gabor没有离散正交基,没有像FFT那样的快速算法,使得在实际应用中受限。其次,当需要高频时大,信号周期短,则需要窗函数门限应相对较小;当低频时小,则信号周期长,窗函数门限应宽一点才不会影响信号失真。但是应用上述的窗函数时,此时的频带宽度无法影响窗函数的间距。

 

  重要的是,正是科学家们这种想要对信号进行局部分析的思想方向,最终致使小波分析的出现。

 

  1.2小波与小波变换

 

  1.2.1小波

 

  将整个实轴R上的能量有限的信号的集合记为,非零的实数全体记为,如果信号满足容许性条件

 

  (1.2.1)

 

  则称为小波母函数,的傅里叶变换为。引入参数(a,b),产生连续小波,简称为小波。也是一种窗函数。

 

  (1.2.2)

 

  (1.2.3)

 

  因为且满足容许性条件,则当在原点连续时,是波动的,且只在原点附近波动明显;在t=b附近波动明显,波动的范围大小取决于参数a的选取。当a=1时,与原小波母函数波动范围一致;当a>1时,信号波动范围变大,且随着a的不断变大,小波波形逐渐变矮变胖,整个信号形状变化缓慢;当0<a<1时,波动范围变小,且随着a的不断减小,小波波形逐渐变高变尖锐,越接近脉冲信号,整个信号形状变化快。

 

  1.2.2小波变换

 

  小波变换定义如下:

 

  (1.2.4)

 

  其中,a称为尺度参数,b称为时间中心参数。由公式可以看出,小波变换是一个二元函数,可理解为取在t=b点附近,按进行加权平均,以此分析范围在以时间t=b为中心,附近a为尺度内的的变化情况。

 

  假定小波母函数的中心,则时间窗口为。同时从频域看,提取的是以频率点附近的信号,频率窗口为

 

  。

 

  从时-频窗×可看出,窗口的大小随着a的取值大小发生着变化。当a较小,时窗变窄,中心频率变高,对于高频信号可以做很好的研究;当a较大,时窗变宽,中心频率变低,对于低频信号可以做很好的研究,自适应地提取所要研究信号在时间段,频带内的时-频信息,同时实现时间局域化和频率局域化。使得小波变换在分析信号故障、像边缘提取、像数据压缩等方面都有着重要应用。

 

  小波变换有如下性质:

 

  (1)满足内积恒等式。

 

  (1.2.5)

 

  满足帕塞瓦尔能量守恒。

 

  (2)范数守恒

 

  (1.2.6)

 

  其中为以一恒定常数,连续小波变换不一定是正交变换,当时,连续小波变换才为真正的正交变换。

 

  (3)对应于小波变换的重构公式如下。

 

  (1.2.7)

 

  若限制中参数,得有

 

  (1.2.8)

 

  称为吸收小波或称为对称小波。

 

  此时有吸收恒等式:

 

  (1.2.9)

 

  对应的重构公式为

 

  (1.2.10)

 

  1.3离散小波

 

  由于参数(a,b)是相互独立的,使得小波变换的平移和伸缩后得到的小波函数之间有一定的相似性,导致信息冗余。

 

  为了解决信息冗余的问题,最终产生了离散小波变换。

 

  1.3.1二进小波

 

  将参数a离散化取值,注意取值间隔不能为均等的。因为从频率来看,连续小波变换的频窗,中心频率为,随着中心频率变高,参数a>0的数值变小,频窗变大,因此从频率分辨率的角度来说,主频越高频率分辨率越低,所以在低频,取值间隔应小一点,在高频取值间隔可以大一些。显然,幂级数函数满足这一特点。对一个连续小波,a取2的整数次幂,为序列,满足:

 

  (1.3.1)

 

  则称为二进小波,记

 

  (1.3.2)

 

  信号的二进离散小波变换记为

 

  (1.3.3)

 

  二进小波的反演公式为

 

  (1.3.4)

 

  其中称之为的重构小波,满足

 

  (1.3.5)

 

  (1.3.6)

 

  为的傅里叶变换。显然,是能量有限的,且也是吸收的二进小波。

 

  二进小波的特点是用中心频率为处的波谱点来描述中频带在区间的局部频率信息。这种以“点”替“带”的方式,将频率曲线化简成曲线段,简化了计算。

 

  但是对于数值计算应用,这样的简化还不够。因为此时参数b取遍了全部实数。因此考虑到将b进行采样或者离散化,利用离散数据重建小波,再由小波反演公式重建原始信号。因此将研究方向转为在函数空间中找一组基,以离散数据为组合系数,表示出原始信号。这种研究方向最终致使正交小波出现。

 

  1.3.2正交小波

 

  若小波满足

 

  构成函数空间的一组标准正交基,则称为正交小波,取。

 

  此时对信号有小波级数展开

 

  (1.3.8)

 

  其中小波系数为,可以证明实际上是信号的离散小波变换,推导如下:

 

  (1.3.9)

 

  说明,只要为正交小波,那么对原始信号的分析就可以转化为:只分析的小波变换在参数(a,b)取相应的离散点出的分析就可以了。要想从小波变换返回到,只需取小波的离散化就可以了。

 

  至此,将原始信号从一维的升维变换成二维小波变换,再降维到离散点的研究过程,不对要研究的信号加以限制,只对作为研究工具的小波不断进行修正,这种探索思想和手法十分值得学习。

 

  1.4正交多分辨分析

 

  1.4.1正交多分辨分析(Multi-Resolution Analysis)

 

  设为上的一个闭线性子空间,,满足:

 

  (1)单调一致性:

 

  (2)稠密性:

 

  (3)唯一性:

 

  (4)伸缩完全性:

 

  (5)可创造性:有标准正交基

 

  则称为上的正交多分辨分析。容易得到的是空间有一组标准正交基。

 

  1.4.2正交小波的构造

 

  由多分辨分析的稠密性和唯一性可知,当空间无限扩张充满整个时,j趋近于正无穷;当趋近于时,j趋近于负无穷。因此研究的方向之一就是,从多分辨分析出发,想办法找到一个构成正交小波。

 

  定义子空间

 

  易知,子空间序列具有如下性质:

 

  (1)

 

  (2)

 

  (3)

 

  由上述性质可知,若,使构成的标准正交基,则为正交小波。

 

  由正交多分辨分析的可创造性:为的标准正交基,且,则存在唯一序列产生尺度方程

 

  (1.4.1)

 

  记为一低通滤波器,显然其周期为,在空间能量有限。此时尺度方程的频域表达形式为

 

  (1.4.2)

 

  要求为共轭滤波器,即满足下列等式:

 

  (1.4.3)

 

  另一方面,待构造小波,由于,故存在序列产生小波方程

 

  (1.4.4)

 

  记为一带通滤波器,此时小波方程的频域表达式

 

  (1.4.5)

 

  同样要求是正交共轭簇,满足下列等式:

 

  (1.4.6)

 

  由于中子空间和是相互正交的补空间,因此,函数族与函数族是相互正交的。可以得出,

 

  (1.4.7)

 

  记,则上述等式可改写为矩阵形式:

 

  (1.4.8)

 

  即为酉矩阵。

 

  因此,若为酉矩阵,则由构造的小波是正交小波。其中是带通滤波器的脉冲响应系数。且可以证明的是,在正交多分辨分析给定的情况下,是正交小波的充要条件为是酉矩阵。

 

  综上所述,构造一个正交小波的方法,从空间中的一个正交多分辨分析出发,利用尺度方程给出的系数列和对应的低通滤波器、带通滤波器,构造出正交小波。

 

  并且从空间角度可以看出,在空间中,离散空间有

 

  (1.4.9)

 

  其中为带通滤波器所在空间,为低通滤波器所在空间。

 

  1.5Mallat算法

 

  由正交多分辨分析可知空间中;;,

 

  子空间之间的关系满足:(1.5.1)

 

  子空间中基之间的关系满足:

 

  (1.5.2)

 

  子空间中坐标关系满足:,(1.5.3)

 

  因此Mallat算法的分解算法思想即:用已知的求系数;合成算法的思想即是:用求。具体地有如下公式:

 

  分解算法:(1.5.4)

 

  合成算法:(1.5.5)

 

  并且可以证明,在空间由分解成,及由合成的过程都是正交变换,由公式表示为:

 

  (1.5.6)

 

  1.6二维正交小波与小波包变换

 

  1.6.1二维多分辨分析

 

  定义:子空间满足

 

  (1.6.1)

 

  函数,则称是二维正交多分辨分析。

 

  与一维正交多分辨分析相似的具有如下五条性质:

 

  (1)单调性:;

 

  (2)渐进完全性:;

 

  (3);

 

  (4)

 

  (5)构成的标准正交基。

 

  记,则空间中有

 

  (1.6.2)

 

  的标准正交基如下:

 

  (1.6.3)

 

  定义三个二元函数:

 

  (1.6.4)

 

  则的标准正交基如下:

 

  (1.6.5)

 

  其中,取1,2,3。

 

  将空间中的关系对应到信号上,有,它在,(=0,1,2,3),上的正交投影为。由二维多分辨分析的性质和空间中子空间之间的关系可知,,于是

 

  (1.6.6)

 

  且

 

  (1.6.7)

 

  则有(1.6.8)

 

  可以看出,其形式与一维多分辨分析是对应的。

 

  引入系数矩阵(1.6.9)

 

  1.6.2二维Mallat算法

 

  二维Mallat分解算法的主要思想就是:从信号角度来说,当已知,即已知时,求它在四个子空间、、、中的正交投影;从系数角度来说,把这些投影写成相对应的闭的线性子空间的线性组合来看,信号作为系数,知一求四。

 

  相应的,二维Mallat合成算法的主要思想就是:已知四个子空间中的正交投影,求;从系数角度来说,知四求一。

 

  具体地有如下公式:

 

  二维Mallat分解算法:

 

  (1.6.10)

 

  二维Mallat合成算法:(1.6.11)

 

  当j+1不变时,m,n取遍所有整数,形成一个大的数字分辨率为(m×n)像,低通滤波器h给出中光滑的趋势部分,带通滤波器g体现的是中变化较快的边缘细节部分。,(l取0,1,2,3)为4个小矩阵,是的平均二次采样,横纵坐标分辨率都比原来降低一倍;给出的是像中竖直方向上的变化部分;表示的是像中水平方向上的变化部分;表示的是像中水平方向与竖直方向的变化部分,也可理解为沿对角线平行方向的变化部分。

 

  2数字像处理DIP概述

 

  2.1数字像处理基础

 

  像可以看做成由许多“点”组成的二维函数,和是空间坐标,函数值是像一个点的亮度。当,和的值都是有限离散的,这幅像就叫做数字像。这些“点”有自己特定的坐标和值,我们把这些“点”称为像素(pixel)。

 

  人们感知生活,探索世界的过程中,毫无疑问,视觉是非常重要的。但是人类的可视波谱很有限,因此我们就需要借助一类映像计算机,它的可视范围应该覆盖从天线波到射线所有的电磁波谱。像处理、像分析和计算机视觉等方面没有明确的界限,有人把像处理分为三种计算机化的过程,包括:(1)原始的像操作,其在操作前和操作后都是像;(2)像分割、个人定制化识别等,其在操作前是像,但在操作后只保留了人们想要的像中的重要部分;(3)像像分析一样,理解一系列可识别物体,与人类视觉相关的识别功能是在连续系统的终端进行的。通常认为,为人或者机器提供一幅更容易解译和识别的像,是像处理的最终目的。

 

  与模拟像处理相比,数字像处理的优点是精度高,具有更丰富的处理内容,也可以进行复杂的非线性处理。通常软件的变化就可以改变处理的内容,因此数字像处理也具有灵活的变通能力。

 

  模拟像处理一般为实时处理,速度可达到光速,并可同时并行处理,与此相比,数字像处理的缺点是处理速度慢,一般处理的是静止画面。因像的分辨率和高精度会使像处理的时间延长,所以分辨率和精度存在一定限制。

 

  数字像处理的特点主要如下:

 

  (1)像信息量大、数据量大。

 

  在数字像处理中,对于单色像来说,每个像素的灰度级至少要6bit来表示,彩色像一般采用8bit。则一幅像素值为256x256的彩色像就需要64K字节。而在科研工作或生活中,一幅像的像素值远大于此,使得数据存储、传输和处理都存在挑战。

 

  (2)技术综合性强。

 

  首先,像处理的基础理论与通信的基础理论是密切相关的。将一维的信号上升至二维信号即可看作为像信号,因此像信息论是信息论的一个分支。通信理论的研究对于像信息的处理有着重要借鉴意义。

 

  其次,计算机作为像处理的常规工具,因此计算机技术对数字像处理尤为重要。

 

  并且像处理中信息的获取和显示技术主要源于电视技术,成像系统的研究离不开对电子技术、电视技术的研究。

 

  还有一点重要的是,数字像处理技术手段通常运用的是数理知识,因此从数字像处理技术的发展离不开数理知识的深入发展。

 

  2.2数字像处理技术方法、内容

 

  2.2.1数字像处理方法

 

  目前,数字像处理的方法大致可分为两类:

 

  1.空域法。其基本思想是将像作为平面上的一组点来处理,及作为一个二维函数来处理。具体的方法可以分为两种:(1)点处理法。包括灰度,面积、周长、体积、重心等的运算处理。(2)邻域处理法。主要包括梯度运算、拉普拉斯运算、平滑、卷积运算等。

 

  2.变换域法。其基本思想是首先将像正交变换,得到变换域系数阵列,在变换域处理像,最后反变换到空间域作为最终结果。主要包括:滤波、数据压缩、特征提取等。

 

  2.2.2数字像处理的基本内容

 

  按照输入计算机与输出计算机的内容格式,可以将数字像处理基本内容分为两个大类,即输入为像、输出为像,或者输入为像、输出为像的某些特征。在执行像处理时,可根据需求进行部分内容的处理。

 

  通常数字像处理包括如下内容,在进行实际处理工作中,应用某个或多个处理内容。

 

  (1)像信息获取。获取的可以是简单地提供一个已经是数字形式的像,或者是经过预处理之后的的像,如调整像大小,将像进行缩放。

 

  (2)像增强。针对所要研究的问题,特定的对像的某一部分进行突出操作,如锐化,突出像中的边缘信息。经过像增强后,像比原始像更适合于研究。

 

  (3)像恢复。像恢复的目的是为了改善像外观,与像增强不同,更注重于将有损像进行恢复。通常,像恢复技术是基于像退化的概率模型。

 

  (4)像分割。像分割将一幅像分为几个部分以便后续对部分像作进一步研究。通常,数字像处理中最棘手的任务之一是像自动分割问题。

 

  (5)特征提取。通常情况下,特征提取往往伴随在像分割之后。特征提取主要包括特征检测和特征描述。特征检测指的是在像或像中的某一区域、边界中识别特征。特征描述指的是将检测到的特征分配量化属性。

 

  (6)像压缩。在像存储和传送时,我们希望片的数据越少越好,但是在将像进行量化时,存在大量采样率都是相同的,会产生很大的信息冗余。并且在编码时也会产生编码冗余。常用的解决编码冗余的方法之一是Huffman编码,解决信息冗余的技术就是像压缩。但是在像压缩的同时要保证像在恢复时不失真,至少要使得人眼无法查别,所以研究合理高效的压缩技术是十分必要的。

 

  现如今最主流和应用广泛的像压缩的标准之一是JPEG。JPEG定义了三种不同的编码系统。一种是基于离散余弦变换算法(DCT),像有损的像编码系统,是应用最为广泛的编码系统;第二种是为了更好地压缩、更高的精密度或者更先进的复原技术的扩展编码系统;第三种是无损编码系统。一个经典的像转换编码系统流程如(2.1)

 

  (7)像模式分类。像模式分类主要指根据像的描述特征进行标签分类的过程。像模式分类的方法有经典的最小距离法、基于相关性分类、贝叶斯分类器,更前沿的方法有深度神经网络的方法。由于深度卷积很适合进行像处理工作,因此是当下的热门研究与热门应用之一。

 

  3基于小波变换的像降噪

 

  3.1引言

 

  在数字像处理过程中,消除和减弱噪声是非常重要的。数字像中的主要噪声产生自收集或者传送像时。像传感器的有效性受像收集过程中的各种环境因素和原始传感器本身的质量的影响。在传输过程中,由于传输路径受到干扰,使得像被破坏。因此像降噪是像处理的重要部分。噪声模型主要有:Gaussian噪声、Rayleigh噪声、Exponential噪声、椒盐噪声等。

 

  由于大部分噪声是加性噪声,此时像变为原始像与噪声之和,数学模型如下:

 

  (3.1.1)

 

  (3.1.2)

 

  噪声是未知的,现阶段消除噪声的技术有很多。包括:空域滤波和变换域滤波。由于小波变换具有很好的多层分析特性,因此被广泛应用。

 

  3.2基于小波变换的像降噪算法

 

  基于小波分析的分解与重构原理,选择适当的阈值,用小波分解系数进行量化,基于小波变换的高频系数和低频系数对信号进行重构,从而有效地消除或降低噪声信号像。

 

  使用MATLAB仿真平台对本文所采用的算法进行降噪处理,并计算峰值信噪比。

 

  小波分析用于降噪的具体过程如下:

 

  (1)选用合适的小波函数对像进行多层分解。本实验采用coif2小波函数对加噪像进行2层分解。

 

  (2)设置阈值向量和尺度向量。对于高频系数,像的水平方向信息采取一次阈值处理,并进行像重构,形成一次降噪像。

 

  (4)对小波分解后的像继续进行小波阈值降噪,以同样的方式处理像垂直方向的信息,形成二次降噪像。

 

  (5)计算峰值信噪比,以便对于抗噪性能进行判断。

 

  3.3实验结果及分析

 

  实验采用PC端的matlab 2019完成。使用1幅的像,分别添加高斯噪声和随机噪声进行高斯滤波降噪、小波变换降噪处理。以峰值信噪比作为衡量降噪能力的好坏,测试算法性能。下中,4.1(a)为原始像,4.1(b)为加噪像,4.1(c)为经过小波第一次降噪之后的像,4.1(d)为经过小波变换第二次降噪之后的像。4.2为经过高斯滤波降噪之后的像。

 

  4.1 4.2

 

  通过计算峰值信噪比,小波二次降噪后峰值信噪比为33.4295dB,高斯滤波降噪峰值信噪比为32.8655dB。可以看出小波降噪效果较优,小波分析方法对像去噪具有较好的适应性,能够更好地提高数字像的质量。

 

  4基于小波变换的像融合

 

  4.1引言

 

  像融合是一种基于像的数据融合方法。将多个像传感器转换为不同模式得到的同一场景下的多幅像,或者将同一个传感器在不同时刻得到的同一场景的多幅像合成为一幅,称为像融合。在像传感器接收多幅像时,由于传感器成像机理不同,工作电磁波在不同模式下波长不同,造成像之间产生信息的冗余和互补。像融合技术能够协调、互补、更全面、更准确地描述研究对象。因此,像融合技术在军事、遥感、医学等领域有着广泛应用。

 

  现有许多融合算法,如在空域直接加权像中的像素,频域的处理方法例如:拉普拉斯分解算法、比例度塔形分解、梯度塔形分解及小波分解等多种处理方法。基于小波变换的像融合,利用多分辨分析特性,根据一定的融合规则,找到多幅像中对比度变化显著的地方,保存这些特征并将其集成到像的最终合成中。当像经过小波变换,小波系数绝对值大的部分包含着例如像边缘一类的显著特征。因此,绝大多数研究重点在于研究对于三个方向上的高频信息对应的小波系数的合成算法,保留像边缘。另外,由于低频尺度系数决定了像的轮廓,合理的尺度系数选择是提高合成像视觉视觉效果的关键。

 

  4.2基于小波变换的像融合算法

 

  利用小波变换的多分辨分析特性,将经过变换后的两幅像按近似分量加权平均、细节分量进行区域特性测量的融合规则进行处理,最后经小波重构得到融合后像。具体步骤如下:

 

  (1)将两幅像分别进行小波变换,并提取出两幅像的近似分量、,并进行加权平均得到结果,将结果转化为行向量以方便后续重构。其中加权平均公式如下:

 

  (2)提取各层的细节分量,定义权系数w,计算每层细节分量对应的能量、。具体算法如下:

 

  E1=conv2(x1.^2,w,'same');

 

  E2=conv2(x2.^2,w,'same');

 

  其中x1,x2为分解的各层细节分量。

 

  (3)计算两幅像对应的各细节分量的相似度。具体公式如下:

 

  M=2*conv2(x1.*x2,w,'same')./(E1+E2);

 

  (4)定义匹配阈值。对比每个区域与阈值大小,若低于阈值,则说明两区域之间相差较大,直接选取能量大的像的部分作为区域的小波系数。

 

  (5)如果高于阈值,说明两点之间相差较小,采取加权的融合算法。具体公式如下:

 

  Wmin=1/2-1/2*((1-M)/(1-T));

 

  Wmax=1-Wmin;

 

  if E1(i,j)>=E2(i,j)

 

  y(i,j)=Wmax(i,j)*x1(i,j)+Wmin(i,j)*x2(i,j);

 

  else

 

  y(i,j)=Wmin(i,j)*x1(i,j)+Wmax(i,j)*x2(i,j);

 

  (6)小波重构,得要处理后像。

 

  4.3实验成果及分析

 

  实验采用PC端的matlab 2019完成。使用2幅像进行实验,测试建议算法性能。可以看出5.1(a)为左模糊像,5.1(b)为右模糊像。将两幅像按基于小波变换得到融合结果5.2。

 

  可以明显看出,在5.2中,左半部分和右半部分均为清晰的像,而对于中中间底部(人的鞋子部分),由于5.1中此部分都为模糊的,所以结果仍为模糊。因此小波变换对像复原技术有较大帮助,可用于像修复、像融合等方面。在实验过程中,可以对实验物体进行多次拍摄纪录,将多张片运用小波变换进行像融合,直至得到清晰的像。

 

  5基于小波变换的数字水印技术

 

  5.1数字水印技术的意义

 

  例如二、三、四三章列举在内的多种技术方法,使得在数字媒体和互联网中,像被充分利用,并且可以广泛传播。但是,广泛传播的像可以被无失真的重复利用,从而使像的所有者权利无法得到保护。即是在传输照片时加密,解密后的像也不会受到保护了。因此,研究能够阻止非法复制的方法,其中之一便是:在像中插入一项或多项信息(水印),使像与水印不可分离,作为水印像的组成部分,以此来保护像所有者的权利。数字水印主要包括以下几个方面:

 

  (1)版权鉴定。在侵犯所有者权利的情况下,水印包含为保护像所有者而确认的信息。

 

  (2)用户ID或指纹。合法用户的身份识别可以在水印上进行编码,并可以用来识别非法复制的来源。

 

  (3)真实性判断。如果添加的水印被设计为,当像被修改,则水印也会发生变化,那么水印的存在可以保证像不被改变。

 

  (4)自动监控。通过系统,水印可以随时被监控到,比如在网页上放置搜索网页片的程序。

 

  (5)拷贝保护。水印可以用来指导像的使用和复制规则。

 

  水印可以是可见的,也可以是不可见的。可见水印是一个不透明或者半透明的子像,因此对观看者来说是客观存在的。不可见水印是不可察觉的,但是可以用适当的解码算法来恢复。

 

  不可见水印的一个重要属性是:对于故意试删除数字水印的作法,不可见水印具有抵抗性。

 

  脆弱的不可见水印,一旦像做任何修改,嵌入在内的不可见水印也会被破坏,因此也是一个很好的特性,在像认证应用广泛。

 

  稳健的不可见水印则设计为在像修改后仍然存在,包括有损压缩、线性、非线性滤波、重采样及恶意破坏等处理后,像水印仍然存在。

 

  5.2小波变换域数字水印

 

  目前,数字水印技术主要有空域直接处理像像素值,或变换域通过离散余弦变换、离散傅里叶变换、离散小波变换其中之一,将空域像变换为频域,之后进行一系列操作,最后将处理结果反变换为空域像。

 

  空域变换的像算法简单,实用性强,但是鲁棒性不如变换域好,容易被破坏。由于DCT和DFT是对像全局进行变换处理,所以在变换空间中任何一处差错都有可能导致像出现偏差。小波变换具有很好的多分辨分析特性,将像分成多段进行处理,可以很好的保护像并适应人眼的视觉特性。本算法选用哈尔小波,分别对原始像和水印像进行2层分解,根据低频分解比例融合信息,然后重构像。

 

  基于小波变换的数字水印技术主要有三个步骤:

 

  (1)特征提取

 

  对原始待处理像及水印像进行2级小波分解,如(5.1)所示。是直流子带,、和是低频子带,、和是高频子带。为了使生成的鲁棒性更强,我们选取低频进行水印处理。

 

  5.1

 

  (2)水印嵌入

 

  取两幅像的低频分量,进行比例求和。嵌入的水印像成分比例为Wratio,原始像相近成分为LLorig2,水印像相近成分为LLw2,则新的系数矩阵为LLwatermarked,满足如下公式:

 

  最后进行小波重构。

 

  (3)像水印提取

 

  对像进行小波变换,提取出低频分量,进行比例逆向求和,以此来观察水印像。

 

  5.3实验结果及分析

 

  实验采用PC端的matlab 2019完成。使用2幅像进行实验,测试建议算法性能,原始像和水印像尺寸均为790×512。使用小波变换算法进行水印嵌入及水印提取。如下所示,5.2(a)为待添加水印片,5.2(b)为水印片,5.3为由小波变换处理产生的水印片。

 

  本组水印具有以下特点:采用的是不可观测的数字水印,且水印携带水印嵌入者信息;加载水印与提取水印所用的是同一密钥,因此只有水印嵌入者可以对水印进行操作,起到了对片知识产权的保护作用。



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