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论文方法介绍-一题多解与学生数学思维能力的培养

2021-03-29 13:22


   数学是一门逻辑性学科,具有很强的逻辑性和严密性,是培养学生思维能力的主要学科,在中学阶段占有很重要的地位。“一题多解”即是针对一道题目从不同的角度去思考,从而得到不同的解法。数学思维就是数学地思考问题和解决问题的思维活动形式。数学思维的培养,有利于学生形成创新思维。一题多解对学生数学思维的培养有着很大的作用,也为老师的教学提供了便利。但在运用一题多解辅助教学的过程中,难免也会出现一些问题,比如目标不明确、学生能力无提升等。在运用一题多解时教师要明确教学目标,了解学生情况,使一题多解的方法达到相应的效果。本文将通过文献研究法、调查法等方法进行研究,最终系统的说明一题多解可以培养学生哪些数学思维?怎样合理的运用“一题多解”来培养学生的数学思维?

 
  数学是一门逻辑性学科,具有很强的逻辑性和严密性[[]][14],解题是数学中不可缺少的内容,由于数学知识点间的逻辑联系,同一个题目从不同方面思考,就会得到不同的解法。“一题多解”是教师教学的有利工具,在对学生数学思维能力的培养方面也起到了重要的作用[9]。
 
  一题多解在培养学生数学思维方面起到了很大的作用,也为许多老师提供了便利。但在使用一题多解的过程中也出现了许多问题,比如选题不合适、目标不明确、学生水平无提高等,如果对一题多解运用不当,不但达不到想要的结果,还会增加学生的学业负担,打击学生的自信心。
 
  数学思维是数学学习中所需要的一种思维,在数学中,我们通过对数学不同知识点的学习,来培养数学思维,但是由于数学知识的相关特性,教师所能选择的材料是十分有限的,要找到一个材料同时培养多种思维能力更是困难。而一题多解既能培养学生的思维能力,也能培养学生数学学习的精神,是教师辅助教学的一种有利工具。
 
  解题是数学教学中不可缺少的一种,但是解题的目的并不只是为了解题,而是为了通过解题来熟悉相关知识,是一种促进知识理解的有利手段。许多题目都是可以有多种解法的,并且通过一个题目的多种解法可以帮助培养学生的发散思维,也可以将多个知识点联系在一起,培养学生的集中思维,这些思维都是重要的数学思维。
 
  1.2应用前景
 
  随着科技的发展,各个领域对人才的要求越来越高,为了能让学生以后走出社会能适应社会,教育在跟着变革,培养目标也跟着变革。我们要培养的是各方面能力都非常强的人才,而不是解题的“人才”,思维能力的培养是数学课的一项重要任务,尤其是创新思维能力的培养。但由于各种因素的限制,教师所能选择的方法有限,“一题多解”就是一种很好的选择,所以在未来的教育中将会有越来越多的数学老师选择这种方法,并且也会有越来越多的人做这方面的研究。
 
  1.3研究概况
 
  这些年我国对“一题多解”的研究从来没有间断过,顾冷沉教授的《过程性变式与数学课例研究》从理论上面分析了变式的重要性。已经通过他大量的实践教学取得了非常好的成果,通过他的经验形成了专著。
 
  有许多的人对一题多解也做了研究,在中国知网中我查了关于“中学一题多解与思维能力培养”的文献,有很多篇。一些人具体的说明了创新,并通过实例来具体地说明如何运用一题多解培养学生的创新能力。但是并没有将所有的思维能力综合考虑,也没有对一题多解与具体思维能力做具体的描述。很多人对一题多解的好处进行了说明,但并没有研究者将一题多解使用的好处和弊端进行综合分析。
 
  2一题多解的意义及使用弊端
 
  2.1一题多解的意义
 
  “一题多解”是针对一道题目,运用不同的知识点来思考,得出不同的解决方案,由于数学的严谨性和逻辑性等性质,也使得数学成为了培养学生思维能力的一门重要课程,集中思维、发散思维等思维是数学思维中的重要思维[4]。很好的培养学生的思维能力,成为老师们要思考的问题,也是一个难题[6]。通过解题的方法来帮助学生理解知识,巩固知识成为了现在教学中的一种常见方法。一题多解的运用可以帮助学生通过一个题目连接多方面的知识,也是学生创新思维能力培养的有效方法。
 
  一个题目多种解法是中学数学中很常见的现象,运用一题多解来教会学生融会贯通,是一种很好的教学方法,也是许多老师常用的一种方法。
 
  2.2一题多解的作用
 
  2.2.1使学生形成知识网络
 
  学多学生觉得数学难、学不懂,这是为什么呢?因为学生不能很好的把各个知识点联系起来,换句话说,许多学生的知识点是“断片的”。这就导致了学生在做题时,不能把知识点灵活的运用,以至于他们遇到灵活的题目时很难下手,因此会觉得数学很难学,有的学生甚至还会对数学失去兴趣,那么对于这类问题,我们又应该如何解决呢?
 
  一题多解就能很好的解决这类问题,数学中许多知识点都是相通的,当学生通过多种方法来解决同一个问题时,会用到不同的知识点,多加锻炼之后学生就会把这些知识点链接起来,形成一个脉络。
 
  例如在学习了《椭圆及其标准方程》之后,我们可以通过椭圆的例题来巩固圆的相关知识,并将它们联系起来,灵活运用。也可以根据椭圆的性质链接到三角函数的相关知识。
 
  例1:已知椭圆的焦点为、,椭圆上有一点满足,下面结论正确的是()
 
  A.满足条件的有两个B.满足条件的有四个
 
  C.不一定存在D.一定不存在
 
  解法1:以为直径画圆,如图所示,由图可以知道满足条件的点不存在。故本题选择D
 
  图21
 
  这种解法是利用椭圆的性质和圆的性质相结合来进行求解,同时也结合了图形观察,这种数形结合的方法是数学中常用的方法。
 
  解法2:由题意及椭圆的基本性质知,当在椭圆短轴端点处时,最大,设,,所以小于,此时为锐角,与题干中所说的为直角互相矛盾。故本题选D。这种解法运用了角和三角函数的知识,再结合反证法最终得出答案。
 
  解法3:设,由焦半径知
 
  ,
 
  由题意知
 
  所以是直角三角形,所以
 
  即
 
  在实数域内,无解,所以满足条件的不存在,故选择D答案。
 
  根据椭圆的焦半径,再构造三角形,最终推出了与已知事实相矛盾的结果,这就证明了所设的点P不存在。
 
  解法4:由于题目选项中,有一个选项是满足条件的点为零,所以我们就可以从这里思考,验证一下这个选项是否正确,由椭圆的定义知道,就从这个条件入手,进行解题。
 
  设,由题意知,
 
  所以
 
  然而由椭圆的定义及已知的标准方程知,,
 
  所以不成立,所以满足条件的P不成立。
 
  在解决解析几何类题目时,往往用到的知识点比较广阔,可以运用画图的方法来观察,也可以根据所求图形的相关性质来求解,一个题目有很多种解法,每种解法之间又有着逻辑联系,运用这种逻辑联系,可以很好的提高学生的知识网。但运用计算的方式来解题时要知道每个式子所代表的几何意义,这样才能有目的的化简,有目的的做题。
 
  2.2.2培养学生的创新思维能力
 
  不同的题目对学生思维能力的培养也会有所不同,一题多解可以通过发散、总结、运用等方式培养学生的数学思维[4],对创新思维的培养只是一个宽泛的说法,具体操作要将创新思维细分,而数学思维就是创新思维的一部分,所以培养数学思维也就是在培养创新思维。当下的许多学生形成了一种思维定势,一些学生拿到题目之后总是想去找标准答案,如果运用好一题多解,引导学生思考,学生就会在各种解法之间进行思考,可以帮助学生打破固有的思维模式,培养学生的发散思维。在运用一题多解时,教师为了能够很好的培养学生的创新思维,要注重教学方法,多对学生进行鼓励,运用多种课堂形式来教学,比如说运用一题多解来给学生组织小组比赛等,也要让学生重视一题多解。给学生多讲解一题多解的好处,让学生为了自己的发展而主动的去学习、主动发散思维,打破学生不想学、不思考的坏习惯。
 
  2.2.3培养学生的创新精神
 
  在教学中我们会发现,许多学生上课不喜欢思考,总是带着个头就来听课,老师讲了之后就随便记一下,这是一种很不好的学习精神,我们需要改变学生的这种状态。
 
  一方面,为了让学生多思考,要设置合理的思考类题目,使学生的大脑动起来。在设置思考类的题目时,既要考虑尖子生,也要考虑差生。一题多解就是一类既能照顾尖子生,也能照顾差生的题目。作为学习基础差的学生,选择解题比较简单的方法来解题,而基础好的尖子生就选择比较有挑战性的方法来解题。这样使每个学生都能得到相应的锻炼,不会落下差生,也不会浪费了优生。
 
  另一方面,应设立良好的学习思考环境,比如在班上设立讨论小组、在教室放置相关图书等,让学生有良好的学习环境。在讲解题目的时候注意讲解的技巧,要善于引导学生思考,只有学生多思考,才能形成善于创新的精神。
 
  2.3一题多解在教学中出现的弊端
 
  一题多解在培养学生思维能力方面起着很大的作用,但是在运用一题多解的方法时也会出现一些问题,比如目的不明确、学生能力无提升等。
 
论文方法介绍-一题多解与学生数学思维能力的培养
  1.增加学生的学业负担
 
  教育既要教会学生知识,也要关注学生的心理健康,不能给学生太大的学习负担。运用一题多解也是为了帮助学生理解知识,减轻学习负担。然而,在运用一题多解辅助课堂的时候,会因为使用不当而增加学生的学习负担。
 
  一题多解一个题目通过不同的方法来解决,各种知识点之间的联系可以帮助学生形成知识网络,但这要求老师对学生的学习情况进行估计,有目的的培养学生。但是如果运用一题多解时,目标不明确,只是一味地让学生解题,而没有目的性的总结,就会给学生的学习带来很大的负担。
 
  随着社会的发展,对人才的要求变高,这也导致学生所要学习的东西也变多了,特别是高中生,但一些老师为了能让一题多解发挥作用,给学生布置了课后作业,增加了学生的课业负担。
 
  2.把学生当作解题的机器
 
  运用一题多解时,一些老师还持有应试教育的思想,觉得只要多解题就行,把学生当作解题的机器,一道题,变着法的让学生做,达不到想要的培养目标。
 
  3.学生能力无提升
 
  许多教师在运用了一题多解后,学生的数学思维能力并没有得到相应的提高,这是为什么呢?因为在教学中既使注重了培养的目标和上课的方法,如果不关注学生综合能力的发展,只把侧重点放在“能不能解出题来”上,那学生也只会以解题为目标,能力不会得到本质性的提高,这也即是侧重点和方法的原因了。
 
  一题多解的教学中最容易出现的问题就是教师只注重学生解题的结果,而不注重解题的过程,学生在解题过程中出现的问题没有得到很好的解决,学生原有的问题依然存在,能力也没有得到很好的提升。
 
  3对几种数学思维的概述
 
  3.1集中思维(求同思维)
 
  集中思维相对发散思维而言,是从不同的事物中寻找它们的相似之处,并总结处相关结论的一种思维模式,我们也称它为“求同思维”。一题多解可以有效帮助学生培养的集中思维,当学生拿到一个题进行求解时,老师引导学生运用多种方法来求解,也即是一种求异思维,再由发散而集中引导学生在这些解法中找到它们的共同之处,这就是求同思维。
 
  3.2发散思维(求异思维)
 
  发散思维可以理解为集中思维的反面,培养学生的发散思维是培养学生创新思维的基础[3]。发散思维要求学生不能固守城规,遇到问题时应从多个方面思考,开阔视野。因此,大脑在思考时所呈现出的一种分散状态使发散思维又有了许多名称,例如:“放射思维”、“求异思维”、“扩散思维”等,这些思维方式具有流畅性、变通性、独特性等性质。创新的本质就是做“首先”,做“第一”,想别人没有想过的,做别人没有做过的,创新思维的技巧和方法中许多与发散思维有着密切的联系。通过一个题目多种解法老打破陈规,引导学生从多个方面思考问题,这就是一个思维发散的过程。
 
  3.3逆向思维
 
  在解题时学生往往都是按常规的解题套路去解决问题,这就是“顺向思维”,这样的思路可以对付一般的常规题型,在面对综合性强的题目时,学生多显得束手无策,这时候“逆向思维”即反过来思考的一种思维形式,可以帮助学生换角度分析并解决问题。在数学中,一些问题用常规的思维并不容易解决,但如果运用逆向思维来思考问题,问题就会变得简单,在数学教学中证明、概率等模块对逆向思维的运用比较常见。在生活中,通过逆向的思考,就会得到不同的创新,因此逆向思维的培养对创新思维的形成有很大的帮助。
 
  4一题多解与数学思维的培养(实例分析)
 
  4.1精准选题,引导学生多方面引导学生思考
 
  现在的教育中,许多学生形成了一种思维定势-解题时总想着找标准答案,这对于创新来说是一种严重的遏制。打破这种思维定势,是现在教育中必须克服的一个难关,而一题多解就是要运用灵活的思路去看问题,从一个题目中找到多种解题方法,不在拘泥于找标准答案的思想中[12],从而锻炼学生思维的灵活性。作为教师,要巧妙的运用一题多解的方法,培养学生的发散思维能力[16]。
 
  4.1.1选择试题:
 
  选题是很关键的一个步骤,要考虑的因素很多,例如:题目所包含的知识点、学生具体学习情况、题目的难易程度等。这些因素如果估计不当会无法达到想要的效果。
 
  例题2:求函数的值域。
 
  若选择此题,则需要学生学习过函数的值域之后,也可以在学生学习了函数的单调性以后作为一个巩固题来运用。这个题目不算很难,对于一些基础好的学生来说,题目太简单她们会没有兴趣,所以在选择题目的时候,可以多选择几个难度不一的题目,让同学们选择不同的题目做,并分享自己的看法。
 
  4.1.2讲解:
 
  讲解时需要根据学生的具体情况巧妙运用,引导学生从多个角度去思考问题,鼓励学生分享解法,必要时做出评价,培养学生数学学习的自信心。
 
  学生拿到题目之后,根据题目的形式,会很快找出一种常规的解法,也就是解法1(借助基本不等式)
 
  解法1:
 
  根据不等式的性质有最小值2,即所求即值域为。
 
  讲解完解法1之后,引导学生继续寻找其他的解题方法,许多学生根据解法1的启发找到了解法2,也有少部分学生找到了解法3。
 
  解法2:配方法
 
  当时,,此时有最小值2,即所求值域为。
 
  解法3:设,则,由
 
  当时,,因此当时,有最小值2,即值域为。
 
  有这几种解法,已经算很完整了,学生自主解题的方法也收到了很好的效果。
 
  4.1.3总结:
 
  对于此类题目的讲解,不能上来就讲,而应该让学生先思考,并且引导学生从多方面思考,灵活运用所学知识,找出多种解法。并且讲解时由学生发表意见,学生讲解不足之处再由老师补充。
 
  处理意见:在处理此类的问题的时候,教师要做好引导者的角色,留给学生足够的空间去考虑,也不让学生走弯路,恰到好处的提醒会得到事半功倍的效果。
 
  4.2引导学生解题后反思归纳,培养集中思维
 
  在运用一题多解教学时,不能因为解题而解题,也不能光发散了就不管,我们都知道,学生的发散思维固然很重要,但如果只有发散思维是远远不够的,如要很好的培养学生的创新思维,学生思维的灵活是很重要的。我们知道,创新就是“集中—发散—集中”的一个过程。一题多解如何培养学生集中思维呢?解决一道题会用到多种方法,如果可以引导学生找出各种解法之间的联系,把各解法所用的知识进行归纳总结,就可以让学生的知识形成脉络。[7][11]
 
  例题3:(2008年全国高考)若直线通过点,则()
 
  ABCD
 
  直线通过点,即,所以问题就转化为比较,和1之间的大小。
 
  解法1:因为,所以,
 
  所以
 
  所以
 
  所以
 
  所以此题的答案选择D。
 
  这种解法是一种常规的解法,学生只需要对三角函数的知识有一定的了解,对题干中的式子变形,再通过三角函数的知识处理了一些无关量就可得出,但作为教师不应该只教一种解法,为了学生更好的发展,应该引导学生再寻求其他解法。
 
  解法2:因为
 
  所以其中
 
  所以
 
  也即是
 
  故此题选择D
 
  看到分式
 
  就想到用交叉相乘的方法化简,化简之后结合三角函数的诱导公式。最终得到了本题的第二种解法。
 
  解法3:设,
 
  由于,
 
  所以
 
  即,两边同时平方得
 
  故本题选择D
 
  根据题目所给的四个选项,在联想到向量中不等式,得出了这种解法。
 
  总结:如果将这个题目放到班级给学生做,这几种做法很容易做出来的,也许做出来的结果还不止这几种,但是目的不仅仅是解出这几种结果,我们的目的是为了培养学生的一种求同思维。如果能引导学生找出这些解法间的一些联系,或者解决这些问题所用到的知识点,对培养学生的求同思维将会有很大的帮助。
 
  一方面,我们发现,题目中虽然是一直线的方式给出题目,但解决的时候却都用到了三角函数的知识点,这也就是三角函数的用处。另一方面,虽然题目中所运用到的方法各不相同,所运用到的知识点也不一样,但是这些知识点之间却有着逻辑联系,这也就是不同解法之间的相同点。
 
  通过寻找不同解法之间的逻辑联系,使知识点逻辑的联系在一起,这是一题多解培养学生数学集中思维的根本所在。
 
  4.3正逆解法相结合,培养学生逆向思维能力
 
  逆向思维是创新思维中的一种重要思维,也是数学中的一种重要思维,比如证明题中的反证法、概率论中求随机事件的概率等都会用到反向解题的方法。在数学中,有些问题由常规的思路没有办法解决,如果打破常规,从反面去思考,问题就会变得简单。比如解题时,有些题用反证法进行证明,步骤就会变得简单。
 
  在教学中,对于一些题目,首先,教学生运用常规的方法解题,然后再引导学生从反面进行思考,得出不同的解法,借助一个题目的正反两种解法,可以培养学生的逆向思维能力。
 
  例题4:小王开车上班需要经过4个交通路口,假设经过每个路口会遇到红灯的概率分别为0.1,0.2,0.25,0.4,则他上班经过4个路口至少有一处遇到绿灯的概率是()
 
  A0.899B0.988C0.989D0.998
 
  解法1:把满足条件的所有情况找出来,至少有一处遇到绿灯,也即是有1处遇到绿灯,有3处遇到红灯;有2处遇到绿灯,有2处遇到红灯;有3处遇到绿灯,有1处遇到红灯;4处都遇到绿灯,工4种情况,分别求出4种情况的概率,然后再相加即可。这种解法思路简单,分析清楚情况,就可以得出最后的结果。
 
  解法2:利用概率的性质,从反面来考虑。至少有一处是绿灯的反面是四处都是红灯,求出反面的概率,用1来减去反面的概率就可以得到所要求得概率。即四处都是红灯的概率=,所以至少1处绿灯的概率=1-0.002=0.998
 
  这种题目难度不大,但从反向解题的方法对于学生逆向思维的培养有着很大的作用。
 
  5培养学生数学思维能力的作用
 
  5.1增加学生对数学的学习兴趣
 
  数学是对生活中的事物高度抽象而来,相对其他学科而言,既抽象也枯燥,但数学在生活中运用十分广泛,数学中的各种联系和奥秘探究起来也挺有趣的。有的学生会觉得数学抽象而无趣,是因为他们没有走进数学的世界,发现数学的有趣之处。随着学生数学思维能力的提高,使学生对数学相关概念的掌握和运用能力得到提高,学生就会发现数学的有趣之处,成就感也会越来越高。当学生数学学习的能力不断提高之后,学生对学习数学的兴趣也会不断增加。
 
  随着数学思维的形成,学生数学思维能力也会跟着提高,学习数学的能力也会不断增强。思维能力的提升可以帮助学生理解数学知识,发现数学的有趣之处[8]。数学在生活中运用广泛,特别是在这个大数据的时代,只有学生有了很好的思维能力,学习数学,再将所学的数学知识运用到生活中的各个领域去,学生才能发现数学的亮点,对数学产生兴趣。
 
  5.2提升学生创新能力
 
  创新能力的提高既符合社会对人才的需求,也是培养的目的,学生创新能力的提高既要有创新的思维,也要有勇于创新、勤于创新的精神。在教学中既要重视创新思维的培养,也要重视创新精神的培养。[5]
 
  数学思维在许多领域都运用广泛,无论是将许多事物进行分类的能力,还是将不同概念进行概括的能力,在生活中都有着很大的作用。创新是一种寻求新颖的活动,创新就像油,只有加了油的车才会不断向前。在中学的教学中,数学是最有利于培养创新能力的学科,通过培养具体的思维能力,不断地提高创新能力。通过对旧事物的发散,聚合,综合处理之后才能得出新事物,这是创新的必要过程,所以数学思维能力的提高是创新能力提高的有效前提。
 
  5.3增加学生学习数学的信心
 
  许多学生因为学不懂数学而对学习数学失去自信心,这是因为一次一次的解题失败、一次一次的考试低分,造成这些失利的原因之一也就是数学思维能力不强,导致学习跟不上。如果能解决这个问题,就得从根本上去做。数学思维能力的提高,使学生对数学的学习变得容易。比如在学习一些复杂的知识点时,如果概括能力和分析能力差的学生就会觉得乱,学起来也很累,但是如果分析能力和概括能力强的学生,将复杂的知识点分析并概括成简单的几个大点,就可以让知识脉络清晰可见。只有慢慢的学懂了数学知识,学生对学懂数学的信心才会增加。
 
  6总结与反思
 
  一题多解是教师教学的有利工具。在数学教学中,由于数学学科的特征,使得学生的学习并不顺利,增加了教师的工作量,无论是内容涉及还是教学材料的选择,都要经过重重筛选。数学思维能力的培养,是教师教学的重点,然而针对不同思维能力的培养和不同的学生的教学,老师所能选择的方法有限。教师若能合理的运用一题多解,就能很好的培养学生的集中思维,发散思维等数学思维。
 
  一题多解的使用能帮助学生形成一些数学思维能力,比如分析能力、概括能力等,学生通过对可一题多解的问题求解、分析、比较可以提高这些思维能力,也能培养求同思维、求异思维、创新思维。通过数学思维能力的提高,进而提升学生创新能力,这符合社会对人才培养的需求。
 
  在使用一题多解的时候,应注意使用的方法,不仅要教会学生学会解题,更要教会学生运用一题多解来发散思维。通过运用一题多解的方法,打破学生“找标准答案”的思维定势,从而培养学生的发散思维[10]。
 
  一题多解的使用,不仅能培养学生的发散思维,也能培养学生的集中思维[2],这就要看教师在使用一题多解的时候运用的技巧了。教会学生解题的同时,也要引导学生对解题过程中所用知识和方法的总结,寻找所有解法之间的逻辑联系。运用这种从不同解法中寻找相同的方法,培养学生的集中思维能力。
 
  逆向思维的形成为许多问题的解决带来了便利,也是创新思维的重要组成部分,所以逆向思维的培养也是数学教育中重要的任务,在本篇文章中我只从一题多解培养逆向思维方面进行论述说明。在一个题目的多种解法中,从反方向进行思考是很常见的,也能为问题的解决带来很多便利。但需要注意的是,培养学生逆向思维时,只讲解逆向解题一种方法是不够的,教师要通过一题多解,正逆结合的方法教学生对比分析,使学生形成逆向思维。
 
  数学是培养创新思维能力的有利学科,但创新思维能力提高的前提是数学思维能力的提高。创新就是发散了又集中,集中了又发散的一个过程。在创新遇到一些难题时,逆向的思考问题也会为创新带来不一样的效果。对于创新思维这个宽泛的思维我们无从培养,就可以通过培养学生的数学思维能力,从而提高创新思维能力。
 
  虽然一题多解在教学中有很大的作用,但是一题多解的使用不免会出现一些问题,如目标不明确,导致增加学生负担、侧重点不同,达不到培养的要求等,由于一题多解是解题,所以教师如果目标不明确,对一题多解的使用观点不正确,就会把学生当作解题的工具,只为解题而解题,这也是我们不愿意看到的结果,因此对一题多解的使用提出一点意见。
 
  对一题多解的一些使用意见:
 
  选择试题时,要根据学生的实际情况与培养目标相结合,仔细分析题目的特点,选择合适的题目。运用试题时,不因解题而解题,多引导学生思考,让学生自主学习、自主发散、自主集中,教师当好引导者的角色,使教学达到应有的目标。关注学生的解题过程,发现学生有不足之处,及时指正,使学生的数学思维能力得到有效的提高。引导和帮助学生总结解题方法,寻找解题所用知识点间的
 
  


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