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论文写作模式-伊藤公式中的微积分思想

2021-03-29 13:22


   伊藤公式作为随机分析中一个强有力的数学工具,广泛地应用于各大数学领域,如求解随机微分方程、建立生物数学模型等。也正是得益于伊藤积分和伊藤公式的提出,才使得随机分析能够成为金融数学的基础,从而为更好地解决不同类型的期权以及不同条件下的定价问题提供了可能。本文首先研究了伊藤积分在离散情形下的建立过程及其性质,再类比黎曼积分的定义过程建立连续情形下的伊藤积分,并讨论该情形下伊藤积分的一些简单性质。最后给出一个较为常用的公式:伊藤-德布林公式及其证明。

 
  众所周知,数学中的积分理论是在不断地完善和发展中的,正如勒贝格积分(Lebesgue积分)完善和推广了黎曼积分(Riemann积分)一样,伊藤积分(Ito积分)也是在前人的研究基础上进行完善和推广得到的。早在1923年,美国数学家维纳(Wiener)就定义了对布朗运动(Brown运动)的一类随机积分,这是数学界首次建立了关于随机过程的一种积分和。但他只利用到了布朗运动增量的正交性质,因此这类积分只适用于非随机的函数。日本数学家伊藤清(KiyyoshiIto)充分的利用了布朗运动的鞅性,定义了一类很广的随机过程关于布朗运动的积分,下称伊藤积分,并由此建立了著名的伊藤公式[1]。随着现代数学理论的深入研究,伊藤积分的研究和应用越来越受到人们重视。1967年,Kunita和Watanabe依据伊藤清的思想,以Doob-Merye分解定理为主要数学工具,定义了一类随机过程关于平方可积鞅的积分,并将积分的适用范围由维纳过程扩展到范围更广的平方可积鞅上。到了二十世纪七十年代,法国Strasbourg学派进一步将积分的求积过程扩展到半鞅的情形。2005年,郭庆[2]等人利用从特殊到一般的数学方法给出了实值可料过程关于可积有界紧凸集值布朗运动的伊藤积分的定义和性质。在次年,利用水平集和承集给出了实值可料过程关于模糊集值布朗运动的伊藤积分的定义及其性质。2010年,周华任、王再奎[3]定义了关于模糊过程的标准布朗运动的伊藤积分,并由此证明了变上限的伊藤积分是一个几乎处处连续的平方模糊可积鞅。2014年,史琼怡、毕露霞[4]分别选取了普通积分和随机积分中具有代表性的积分,比较了普通积分与随机积分在图像、收敛性等方面的异同。2015年,朱一[5]研究了三种不同情形下的伊藤公式,分别是:标准布朗运动的伊藤公式、伊藤积分函数的伊藤公式以及一般过程函数的伊藤公式,并将其运用到金融中。2017年陈勇[6]研究了复多重维纳-伊藤积分的一个乘法公式并证明了它的独立性。2018年,王策[1]研究了当被积过程中含有参数时,“随机变量替换参数的运算”与“随机积分运算”在什么条件下能交换顺序的问题。本文初步的阐述了从离散情形到连续情形下伊藤积分的建立过程,并利用微积分思想对伊藤积分的性质进行了一些探讨,最后给出一个较为常用的伊藤公式的常规性证明。
 
  2关于积分和概率的基本定义
 
  定义[7](简单函数,Simplefunction)设是定义在集合上的实值函数。如果集合是有限集,则称为上的简单函数。
 
  定义[8](范数,Norm)线性空间上的范数是一个取值于的非负值函数,满足
 
  (正定性)当且仅当,
 
  (三角不等式),
 
  (齐次性)。
 
  接下来,我们再来回顾一下经典微积分的基础理论,这些熟知的定义及结论都不给出证明。
 
  定义[9]设闭区间内有个点,依次为
 
  ,
 
  它们将分成个小区间,。这些分点或这些闭子区间构成对的一个分割,记为
 
  或。
 
  小区间的长度为,并记
 
  ,
 
  称为分割的模。
 
  需要注意的是,对于任意的,都有,因此,可以用来反映对区间的分割细密程度。此外,分割一旦给出,其范数或模也就随之确定;但对于同一范数而言,分割可以有无限多个。
 
  定义[9]设是定义在闭区间上的一个函数。对于闭区间的一个分割,任取点作和式
 
  ,
 
  称此和式为函数在上的一个积分和,也称黎曼和(Riemannsum)。
 
  易知,黎曼和既与分割有关,又与所选取的点集有关。因此,自然地需要运用极限思想来进行统一公理化。
 
  定义[9]设是定义在区间上的一个函数,是一个确定的实数。若对任给的正数,总存在某一正数,使得对区间的任何分割以及在其上任意选取的点集,只要就有
 
  ,
 
  则称函数在区间上可积或黎曼可积,称数为在上的定积分或黎曼积分,记作
 
  。
 
  其中,称为被积函数,称为积分变量,称为积分区间,分别称为这个定积分的下限和上限。
 
  与经典的黎曼积分相对照,对于被积函数可能为随机变量或随机过程而言,建立某种和式就需要更加特殊的方法。下面首先给出一些常用概念。
 
  定义[5](概率空间,Probabilityspace)设为一个样本空间,为的某些子集组成的一个事件域。如果对任一事件,定义在上的一个实值函数满足:
 
  (非负性)若,则,
 
  (正则性),
 
  (可列可加性)若互不相容,则
 
  ,
 
  那么称为事件的概率,称三元素组为概率空间。
 
  设是一个概率空间,其中的随机变量全体按照通常意义的代数“加法”和“数乘”构成一个线性空间,记作。按照子空间的定义,有如下常用的子空间:
 
  定义[11](代数)设为非空集,为的子集族,称是一个代数(也叫域)是指,
 
  空集属于,
 
  只要属于,则其余集也属于,
 
  只要一列集合属于,则它们的并集也属于。
 
  为一个可测空间,而的元素称为可测集。令为上的一个实值函数,如果对于任意的满足,就称为可测的。
 
  从上述定义可以看出,对代数其中的集合进行任意运算的结果仍然在这个代数中。在随机分析乃至金融数学理论中,下面的概念尤为重要,是期权定价理论的核心。
 
  定义[5](鞅,Martingale)设随机过程,若对于任何的,,则称随机过程是鞅。
 
  定义[12](二次变差,Secondordervariation)设为区间上的一个分割:
 
  。
 
  则函数在区间上的二次变差为
 
  。
 
  3简单被积函数的伊藤积分
 
  不同于黎曼积分所考虑的实值函数,我们接下来考虑的被积函数都为随机过程。我们将从较为简单的离散情形开始,并讨论该情形下的积分建立过程及其简单性质。
 
  设为区间上的一个分割,是上的一个简单函数,并且满足如下条件,
 
  ,
 
  依赖于的值。
 
  其中,为随机变量,。
 
  易见,上面所定义的函数其实与数学分析中的分段函数的定义是一致的,只不过取值变为了随机变量。但这里的“变量”并不是作为函数的自变量,这是一个很有趣的定义,我们会在随机分析和金融数学中看到更多的例子。在一般的金融模型中,设为资产所有者的收益,布朗运动被看作资产价格过程。在每个交易日,会被如下数学模型表达出来,即
 
  一般地,若,则
 
  。
 
  因此,式给出了投资者的一个“财富过程”,即头寸函数关于价格函数的某种和或积分。在数学上,我们形式的记作,
 
  ,
 
论文写作模式-伊藤公式中的微积分思想
  其中。
 
  这样,上面的这种求和就可以理解为关于简单函数(虽然是随机的)的一种积分,称为伊藤积分。伊藤积分是将微积分思想推广到随机过程上的一种数学方法,得名于著名的日本数学家伊藤清。早在伊藤清之前,美国数学家维纳就已经利用了维纳过程增量的正交性质定义了关于维纳过程的一类随机积分。但这类随机积分仅能用于非随机的函数,有着很大的局限性。1944年,伊藤清首次定义了很广一类随机过程关于维纳过程的随机积分,不仅解决了随机积分只限于非随机的函数的问题,并由此建立了一个重要的变量替换公式。在此之后,随着鞅分析理论的不断发展,Kunita和Watanabe将这类随机积分的适用范围从维纳过程拓展到范围更广的平方可积鞅上。之后不久,法国Strasbourg学派进一步又将积分过程拓展到半鞅的情形。虽然这类随机积分被数学家们极大地推广了,但就其本质而言仍是伊藤清的思想,所以这类积分都被称为伊藤积分一直沿用下来。
 
  在随机分析的相关讨论中,我们已经知道布朗运动是鞅,即没有上升或下降的趋势,从而作为积分上限的过程也应该没有上升或下降的趋势。接下来,我们对此进行一些讨论和验证。
 
  定理[13]作为随机过程,由式定义的伊藤积分过程是一个鞅。
 
  证明:任取两个实数,满足。若同属于某个小区间,易知结论成立。
 
  现不妨假设分别属于不同的小区间,则必存在满足
 
  现将式在小区间端点处分开,则有
 
  由于中的随机变量都是可测的,故。另外,对于由鞅性质和的适应性,可得
 
  接下来,我们只需证出即可。我们将采用求累次期望的方法。事实上,对于任意的,由可得,
 
  同理可得,。最后,由数学期望的性质可知,。
 
  进一步,由方差的性质还可以得到以下事实,
 
  定理得证。
 
  总结起来,关于简单函数的伊藤积分,我们可初步得到以下结论:
 
  简单函数的伊藤积分的期望值为,即;
 
  简单函数的伊藤积分的方差等于伊藤积分平方的期望,即。
 
  此外,利用随机变量的独立性和可测性,我们还可得到以下定理。
 
  定理[13](伊藤等距,Itoisometry)设关于简单函数的伊藤积分为,
 
  ,
 
  则
 
  。
 
  证明:令。于是有下式。
 
  从而有
 
  。
 
  注意到当时,是可测的,并且对于任意的,。
 
  因此,
 
  ,
 
  又由于
 
  ,。
 
  那么进一步又得,
 
  。
 
  因此,
 
  。
 
  定理得证。
 
  接下来,我们将利用数学分析中的极限思想得到伊藤积分关于二次变差的一个重要结论。
 
  定理[13](伊藤积分的二次变差)设为简单函数,则截至时刻的伊藤积分所累积的二次变差为,
 
  。
 
  证明:假设简单函数的各个常值所属区间端点为分点。现在再对小区间作分割,
 
  ,
 
  则对于任意的,当时必有。于是只要通过在小区间上计算二次变差,再按区间累加的方式即可得到整个区间上的二次变差。下面我们给出具体计算过程。事实上,对于任意的,
 
  。
 
  所以,
 
  。
 
  定理得证。
 
  我们发现,二次变差是按照路径进行计算的,并且计算结果是依赖于路径的。换句话说,如果二次变差是沿着布朗运动路径进行计算的,那么我们选取的头寸越大,伊藤积分的二次变差就会越大。因此,我们可以将二次变差看作金融中的风险度量。
 
  对于传统的微积分而言,我们知道积分和微分是两个独立的概念,并且互为逆运算。与传统的微积分有很大不同的是,在伊藤微积分中并没有单独的伊藤微分的概念。换句话说,伊藤微分只是伊藤积分的某种衍生物,并没有其独立的意义。事实上,伊藤微分是以逆运算的形式表达了伊藤积分,使之能够更为方便的进行应用。下面我们就给出伊藤积分的微分形式。
 
  若关于简单函数的伊藤积分为,则其微分形式为,
 
  。
 
  进一步,我们也可按照简单被积函数的伊藤积分的微分形式将式进行如下改写,
 
  。
 
  经过上述讨论,我们得到了简单被积函数的伊藤积分的一些基础性质,这些性质为接下来一般函数的伊藤积分的性质和伊藤公式奠定了理论基础。
 
  4一般函数的伊藤积分
 
  为建立在为非简单函数条件下的伊藤积分,我们先考虑黎曼积分的定义。设函数在区间上有界,在中任意插入若干分点,
 
  把区间分成个小区间,每个小区间的长度为。在各小区间上任取一值,,做乘积,再对其进行求和有。记
 
  ,
 
  若当时,总趋于某个确定的极限值,那么这个极限值便是在区间上的黎曼积分。类似于黎曼积分的建立过程,为了定义关于一般函数的伊藤积分,我们现采用简单过程“逼近”连续过程的策略,即当时,逼近。
 
  其中,逼近的涵义是指,
 
  
 
  现作如下假设:
 
  适应于域流;
 
  。
 
  从而引出关于一般函数的伊藤积分的定义,
 
  。
 
  下面首先讨论一下极限式的存在性。
 
  设是一个简单函数所构成的随机过程,且对于每个,函数是按意义下逼近于的。于是对于任意的所对应的简单函数伊藤积分,满足
 
  。
 
  根据伊藤积分的性质式又可得如下等式关系,
 
  ,
 
  注意到仍为简单函数所构成的随机过程,因此,
 
  再应用定理,进一步可得,
 
  。
 
  当时,有极限
 
  。
 
  由此可见,随机积分所构成的序列是中的柯西列。由函数空间的完备性可知,存在唯一的元素,使得对任意的有,,。
 
  即,
 
  。
 
  这样,对于一般函数而言,其伊藤积分的定义实际上就是下面的极限,
 
  。
 
  由于伊藤积分与黎曼积分都定义为某个积分和的极限,虽然积分求和的方式与求极限的方式并不相同,因此在性质上伊藤积分也与黎曼积分必然存在较大差异。接下来,我们列举出一些常用性质。这些性质在经典的随机分析或金融数学文献中都能找到,这里我们不给出详尽的证明过程。
 
  定理[10]设,是与域流相适应的随机过程,并且满足,则由式定义的伊藤积分有如下性质:
 
  连续性:对于任意的,是连续函数;
 
  适应性:对于任意的,是可测的随机变量;
 
  线性:若,,则对任意的,有;
 
  鞅性:随机过程是一个鞅;
 
  伊藤等距:;
 
  二次变差:。
 
  通过上述讨论,我们得到了关于一般函数的伊藤积分的定义及其常用性质。正如黎曼积分可以利用牛顿-莱布尼兹公式(Newton-Leibniz)计算出积分结果一样,我们也希望能够用某种较为简便的方式计算出伊藤积分的具体数值。于是,我们先对区间进行等分,可以得到如下分点,
 
  。
 
  再构造一个简单函数所构成的随机过程:
 
  其中,。这样,上述每一个分段函数在由相邻分点所形成的小区间上为取值是常值随机变量的简单函数。此外还有,
 
  。
 
  换言之,序列“收敛”于。从而由定义式知,
 
  。
 
  记,则上式可变为,
 
  。
 
  为了计算出式这个极限值,我们首先进行如下推导。
 
  。
 
  这说明,
 
  ,
 
  即,
 
  。
 
  最后,将上式代入式右端,得
 
  。
 
  可以看到,式很有特点,这里我们不妨与经典的微积分比较一下。若实值函数可微且,则由数学分析中的变量替换公式有
 
  。
 
  可以看出,式比经典的微积分多出了一项。这是因为布朗运动的二次变差非零以及,即与取左端点有关。若被积简单函数取右端点,则不会出现这一项,但后者并不适合现实世界中的金融模型。因为被积函数是时刻投资者所持有的资产份额,所以不可能在交易日当天已经到了再决定的投资决策。
 
  另一方面,由式的证明可知,是鞅过程。从而
 
  。
 
  注意到布朗运动的正态分布特性:,故又有如下关系
 
  。
 
  因此,式可进一步改写为
 
  。
 
  换言之,如果伊藤积分的结果中没有这一项,那么该过程又不能成为鞅了,从而会产生一个悖论。因此,这一项必不可少。
 
  经过上述讨论我们发现,伊藤积分的结果中含有随机变量,并且该结果与分割点的取法有关;而黎曼积分的结果为一个常数或一个含参数的变量,并且该结果与分割点的取法无关。
 
  5伊藤-德布林公式(Ito-Doeblin)
 
  伊藤清不仅首次定义了关于布朗运动的伊藤积分,而且由此又推导出了一个变量替换公式,也就是著名的伊藤公式(Ito公式)。值得一提的是,伊藤公式还有一个颇具传奇色彩的故事。早在1940年2月,法兰西国家科学院就收到了一封来自对德作战前线的士兵德布林(W.Doeblin)的来信。然而不幸的是,这封来信并没有引起科学家们的注意,德布林也在不久之后的战斗中牺牲了。直到2000年5月,德布林的这封来信才被打开。人们惊奇地发现,这封来信上有着与伊藤积分只有些许不同的积分构造以及清晰的变量替换公式的推导过程。由于这一不寻常的发现,伊藤公式也常被称作伊藤-德布林公式(Ito-Doeblin公式)。伊藤-德布林公式作为一个变量替换公式,是许多重要计算的核心部分内容,广泛应用于求解随机微分方程、建立生物数学模型以及解决资产组合价值、贴现等经济问题中。下面我们将给出伊藤-德布林公式,并对其进行简要的证明。
 
  定理[14](关于布朗运动的Ito-Doeblin公式)设二元函数的偏导数分别为:,,且作为函数均连续,是布朗运动,则对任意的有公式
 
  。
 
  证明:我们将按照函数的类型分三步进行证明。
 
  设,则
 
  ,对的三阶及以上的导数均为。
 
  对任意的,应用泰勒公式有
 
  。
 
  另外,设有分割,则可分解为小区间上的改变量之和,即应用式得,
 
  。
 
  为方便计算,简记,则
 
  。
 
  对上式两边同时取当时的极限,得
 
  设,则泰勒展开式中应含有项及中值。
 
  换言之,存在介于与之间的值,使得
 
  。
 
  其中,。
 
  类似于第步的处理方式,下取的极限,则有
 
  将求极限运算与求和运算交换顺序,且注意到,因此
 
  。
 
  设为既含有变量又含有变量的一般情形。还是应用泰勒定理可得,
 
  。
 
  对上式两边同时取的极限,有
 
  。
 
  对于上式中的第三项,有
 
  ,
 
  故
 
  。
 
  又因为
 
  。
 
  故
 
  。
 
  因此,
 
  。
 
  定理得证。
 
  类似于前面的结论,我们对伊藤-德布林公式的左右两端仍然可以取形式上的微分,就能得到该公式的等价形式,即
 
  。
 
  需要注意的是,在数学上只有积分形式的伊藤—德布林公式才是有意义的。式中左右两端都有精确的含义。其中,和项是关于维纳过程的伊藤积分,项是通常的关于时间变量的勒贝格积分或黎曼积分。而微分形式的伊藤—德布林公式中的、以及项只有直观的含义,并没有精确的含义。其直观含义是指,项是对应于变量的有“微小”变化时,的改变量;项是对应于变量的有“微小”变化时,维纳过程的改变量。只有当“微小”是“无穷小”时,式才能是准确的。但由于式中“微小”和“无穷小”都没有确切的含义,因此,微分形式的精确含义只能通过积分形式的得到。
 
  6结论与展望
 
  作为黎曼积分的一种推广,伊藤积分自然与黎曼积分有着许多相似之处。从定义上看,这两种积分都定义为某个积分和极限;从性质上看,这两种积分都具有线性性质等。同时,伊藤积分与黎曼积分又存在较多的差异。在定义上,虽然这两种积分都定义为某个积分和的极限,但积分和的形式与极限的形式并不相同;在分割点的取法上,伊藤积分的值与分割点的取法有关,而黎曼积分的值与分割点的取法无关;在性质上,伊藤积分有着黎曼积分所没有的鞅性、二次变差、伊藤等距等;在积分结果上,由于伊藤积分的积分变量不再是实变量而是随机变量,因此积分结果不再为常数或者含参变量而是随机变量。伊藤积分的研究,对于现代数学理论的完善和发展起着非常重要的推动作用。当今的金融市场瞬息万变,证券交易分秒必争,离散的数学模型几乎很难准确的反映出这种变化。因此,假定交易时间是连续的连续时间金融学的模型更能体现出资本市场的真实情况。连续时间金融学的主要数学工具与随机分析相关,而由伊藤积分推导出的伊藤公式正是随机分析中的一个重要工具。我们相信,随着伊藤积分性质的深入研究,会产生更丰富的数学结果,亦会更好的应用于金融实践。
 
  


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